Для дискретных случайных величин

      Комментарии к записи Для дискретных случайных величин отключены

Для дискретных случайных величин

Для непрерывных случайных величин

Для дискретных случайных величин

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (ах,ау). Об этом, в частности, свидетельствуют свойства ковариации случайных величин.

1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.

Для дискретных случайных величин

3. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.

Для дискретных случайных величин

Ковариация, как уже отмечено, характеризует не только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс, рассеяние. Кроме того, она — величина размерная, ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости для различных случайных величин. Этих недостатков лишен коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Для дискретных случайных величин

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1], т.е.

Для дискретных случайных величин

2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. r = 0.

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, из независимости случайных величин следует их некоррелированность.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость.

Пример. По данным примера предыдущей лекции (табл. 5.2), определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Решение. В примере были получены следующие законы распределения одномерных случайных величин:

Для дискретных случайных величин и Для дискретных случайных величин

Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин:

Для дискретных случайных величин

Для дискретных случайных величин

Для нахождения математического ожидания M(XY) произведения случайных величин X и Y можно было составить закон распределения произведения двух дискретных случайных величин, а затем по нему найти М(ХУ). Но делать это вовсе не обязательно. M(XY) можно найти непосредственно по табл. 5.2 распределения двумерной случайной величины (X, Y) по формуле:

Для дискретных случайных величин

где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n — число строк, m — число столбцов):

Для дискретных случайных величин

Вычислим ковариацию КXY:

Для дискретных случайных величин

Вычислим коэффициент корреляции:

Для дискретных случайных величин

т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).

Дополнительные материалы:

Дискретная случайная величина и ее свойства


Похожие статьи:

  • Зависимые и независимые случайные величины

    Условные законы распределения. Регрессия. Определение. Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,…

  • Общие свойства средних величин

    Для правильного использования средних величин необходимо знать свойства этих показателей: срединное расположение, абстрактность и единство суммарного…

  • Базовые дозиметрические величины

    Свойства базовых дозиметрических величин определяются только физическими процессами взаимодействия излучения с атомами и молекулами среды. Прохождение…